У світі математики є числа, які поводяться майже як герої казки — варто змінити найменшу деталь, і вони миттєво «втрачають магію». Саме такими є так звані цифрово крихкі прості числа — і нещодавно математики описали їхній ще більш екзотичний різновид.
Дослідники з Університету Південної Кароліни довели існування нового класу чисел, які отримали назву широко цифрово крихкі прості числа Їхні властивості звучать майже парадоксально: це прості числа, які стають складеними, якщо змінити будь-яку цифру — навіть ту, що стоїть попереду у вигляді нуля.
Що таке «цифрово крихке» просте число?Нагадаємо: просте число — це натуральне число, яке ділиться лише на одиницю та саме на себе. Наприклад, 101 — просте.
Але якщо змінити будь-яку цифру в 101, результат уже не буде простим:
- 201 ділиться на 3,
- 102 також ділиться на 3,
- 111 теж кратне 3.
Нулі, які змінюють усеМатематики Майкл Філасета та його колишній аспірант Джеремая Саутвік розширили поняття крихкості.
Вони запропонували розглядати прості числа з доданими попереду нулями.
Наприклад:
- 101
- 000101
- 000000101
Скажімо, якщо перетворити 000101 на 100101, отримаємо число, яке ділиться на 3 — тобто складене. Ідея полягає в тому, що для широко цифрово крихкого простого числа будь-яка зміна будь-якої цифри — навіть одного з цих «декоративних» нулів — має зруйнувати його простоту.
Парадокс: вони існують, але ми їх не бачимоДослідники перевірили всі прості числа до мільярда, додаючи попереду нулі й тестуючи всі можливі зміни цифр. Жодного конкретного прикладу широко цифрово крихкого простого числа знайти не вдалося.
І все ж вони довели, що такі числа існують — і їх нескінченно багато. Це один із тих випадків у математиці, коли існування об’єкта можна строго довести, навіть якщо ми не можемо показати жодного конкретного прикладу. Результати опубліковані в журналі Mathematics of Computation
Як це доводять?Доказ ґрунтується на глибоких методах теорії чисел.
У спрощеному вигляді логіка нагадує розширену версію правил подільності. Числа групують у величезну кількість «кошиків» за певними властивостями — наприклад, за цифровими шаблонами або арифметичними ознаками. У новому дослідженні таких «кошиків» потрібно понад мільйон.
І в одному з них гарантовано містяться прості числа, які втрачають простоту при будь-якій зміні цифри — навіть якщо ця цифра була нулем попереду.
Навіщо це потрібно?Це дослідження не має прямого прикладного застосування. Воно не створює нових алгоритмів шифрування і не прискорює обчислення. Але воно розширює межі нашого розуміння чисел.
Теорія чисел часто розвивається саме так — через дослідження граничних випадків і екзотичних властивостей. Кожне таке відкриття відкриває нові запитання:
- А що буде, якщо не змінювати цифру, а вставити нову?
- А якщо видалити одну?
- А якщо працювати в іншій системі числення — наприклад, двійковій?
Крихка нескінченністьШироко цифрово крихкі прості числа — це приклад того, як навіть у добре знайомому світі натуральних чисел ховаються неймовірно складні структури.
Ми звикли думати, що прості числа — це «цеглинки» математики. Але виявляється, деякі з них настільки чутливі, що одна-єдина зміна цифри руйнує всю конструкцію. І хоча ми поки не можемо вказати на конкретний приклад такого числа, математика переконливо доводить: вони десь є. І їх нескінченно багато.
